Introdução à lógica Formal.

Para entender a história... ISSN 2179-4111. Ano 2, Volume out., Série 10/10, 2011, p.01-06.

Em 1882, o alemão Friedrich Frege originou a lógica formal, também chamada de lógica de predicados, adaptando o raciocínio abstrato humano à rigidez matemática para investigar a validade e verdade das cadeias de pensamento, transformando argumentos lingüísticos em expressões da álgebra.

Um trabalho complementado, no inicio do século XX, pelo matemático inglês George Boole, o qual criou as chamadas tabelas de verdade e regras de inferência para analisar as fórmulas adaptadas a partir da língua corrente.

Uma complementação que fez a lógica formal ficar conhecida como linguagem booleana, permitindo analisar proposições tautológicas e não tautológicas.

Entretanto, foi Frege que criou o vocabulário que permite traduzir a língua dominante para a matemática, inserindo-se este dentro do âmbito das regras e conceitos básicos da lógica aristotélica.

A lógica formal ou de predicados representou um enorme avanço para área, apesar de também possuir defeitos e não ser perfeita.

É interessante notar que a lógica de predicados, embora pertença tanto a filosofia como a matemática, possui uma aplicação prática imediata no mundo contemporâneo, sendo utilizada como linguagem da computação e, principalmente, servindo ao desenvolvimento de inteligência artificial.

O vocabulário da lógica de predicados.

Para compor um vocabulário matemático, Frege criou uma linguagem composta por variáveis, símbolos interpretáveis, símbolos lógicos e símbolos auxiliares de pontuação.

As variáveis são representadas por letras minúsculas entre “v” e “z”  (v, y, w, x, z), com ou sem índice inferior.

Indicam elementos desconhecidos e podem possuir o acréscimo de um índice inferior para ampliar sua quantidade.

Os símbolos interpretáveis se dividem em nominais e verbais.

Os símbolos interpretáveis nominais indicam elementos conhecidos, representados por letras minúsculas entre “a” e “t”, com ou sem índice inferior para ampliar sua variação.

Quando saturados são chamados de constantes individuais, mantendo-se isolados de outros elementos, tal como no exemplo: a, b, c, d.

Quando insaturados, carregam um índice de carência superior “n”, assumindo uma função que associa os outros elementos, como no exemplo: a²bc, a³bcd.

Os símbolos nominais só podem expressar termos isolados, nunca compondo formulas.

Formulas são estruturadas somente com símbolos interpretáveis verbais.

Os quais podem utilizar constantes individuais para formar funções com predicados de carência “n”, tal como em A²bc.

Simbolos interpretaveis verbais também indicam elementos conhecidos, são representados por letras maiusculas de “A” até “T”, com ou sem indice inferior.

Quando saturados são chamados de letras sentenciais ou predicados de carência vazio, mantendo-se isolados de outros elementos e significando uma representação que se basta (exemplo: A, B, C).

Quando insaturados são chamados de predicados de carência “n”, onde “n” é um indice de carência que assume uma função que associa outros elementos (variaveis ou constantes individuais), tal como no exemplo predicado de carência “2” (A²bc).

Para compor formulas os simbolos interpretaveis precisam ser unidos e ter sua quantidade e qualidade determinada poe simbolos lógicos e simbolos auxiliares de pontuação.

Os simbolos lógicos são oito:

1. Predicado de igualdade ( = ), também chamado de simbolo lógico de identidade, utilizado para compor tatologias.

2. Quantificador existencial ( $ ), significando “existe”.

3. Quantificador universal ( " ), significando “todo”.

4. Quantificador de negação ( ￢ ), significando “não”, o qual utiliza também outro símbolo para facilitar sua digitação ( ~ ).

5. Conectivo de conjunção ( ^ ), significando “e”.

6. Conectivo de disjunção ( v ), significando “ou”.

7. Conectivo condicional ( → ), significando “implica em” ou “portanto”, ou ainda “mas”.

8. Conectivo bi-condicional ( ↔ ), significando uma “bi-implicação” ou uma implicação que vale para os dois alados.

Para limitar, ordenar e conferir sentido as formulas, os símbolos lógicos precisam de símbolos auxiliares de pontuação, restritos unicamente a parênteses “(  )” que delimitam o inicio e o final de cada operação e as etapas.

Existem algumas regras básicas para utilizar os símbolos lógicos:

1. O quantificador universal e existencial necessita sempre de uma variável (exemplo: "x, $y).

2. Cada quantificador universal e existencial admite apenas uma variável.

3. O quantificador universal e existencial só podem ser aplicados a formulas, sendo que cada um só pode se aplicar a uma única formula [exemplo: "x(A→B), "x($y(A→B))].

4. Cada conectivo, unindo dois elementos, compõem uma formula e necessita de pontuação [exemplo: ((A→B)↔(B→A))].

5. O quantificador de negação pode se aplicar a um quantificador universal ou existencial, assim como pode se aplicar a formulas ou termos isolados [exemplo: ￢"x,  ￢A, ￢(A→B)].

6. Para compor formulas é necessário determinar antes os valores dos termos.

Exemplo de formula não tautológica:

Legenda:

A = Aluno universitário.

B = Esforçado.

C = Bem sucedido na vida.

"x(((A^B)→C)→((￢Av￢B)→￢C))

Tradução: Todo aquele que é aluno universitário e esforçado será bem sucedido na vida, mas se não é aluno universitário ou não é esforçado, não será bem sucedido na vida.

É interessante notar que o vocabulário da lógica de predicados não é perfeito, mas para compor argumentos validos, a tradução de proposições lingüísticas devem obedecer rigorosamente às regras estabelecidas por Frege.

Já a determinação da verdade depende das tabelas de verdade de Boole e, no caso de tautologias, de regras de inferência complexas.

Tabelas de verdade.

Embora seja atribuída a Boole a criação das tabelas de verdade, elas são fruto do trabalho desenvolvido também por Frege, Charles Pierce e Emil Poste Ludwig Wittgenstein.

As tabelas de verdade são usadas para determinar se uma formula não tautológica é falsa ou verdadeira, portanto, o seu chamado valor de verdade.

Cada tabela condiciona o resultado conforme o conectivo utilizado ou o uso do quantificador de negação, conforme segue:

1. Negação.

A	￢A
V	F
F	V

2. Conjunção.

A	B	A^B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	F

Portanto, o resultado só é verdadeiro quando ambos os termos são verdadeiros.

2. Disjunção.

A disjunção possui um fator complicador, pois existem duas tabelas específicas, cada uma com resultados distintos.

A tabela inclusiva simboliza melhor a tradução da língua corrente para o vocabulário da lógica, pois significa que se um dos termos é verdadeiro ou os dois termos verdadeiros, o resultado é verdadeiro.

A tabela exclusiva só considera o resultado final verdadeiro quando somente um dos termos é verdadeiro, não admitindo como verdadeiro o resultado quando os dois termos são verdadeiros.

Tabela inclusiva. A B AvB V V V V F V F V V F F F

Tabela exclusiva. A B AvB V V F V F V F V V F F F

A grosso modo, a tabela inclusiva considera o resultado verdadeiro, inclusive no caso dos dois termos serem verdadeiros, só considerando falso o resultado quando os dois termos são falsos.

A tabela exclusiva, além de não considerar verdadeiro o resultado quando os dois termos são falsos, exclui como verdadeiro o resultado de dois termos verdadeiros.

Portanto, considera falso o resultado de dois termos verdadeiros ou falsos; sendo verdadeiro o resultado da disjunção entre um termo falso e outro verdadeiro.

É interessante notar que para os especialistas em lógica é justamente a tabela exclusiva a mais adequada para determinar o valor de verdade.

3. Implicação.

A	B	A→B
V	V	V
V	F	F
F	V	V
F	F	V

Portanto, o resultado só é falso se o Segundo termo da implicação for falso; em todos os outros casos o resultado é verdadeiro.

3. Bi-implicação.

A	B	A↔B
V	V	V
V	F	F
F	V	F
F	F	V

Portanto, o resultado só é verdadeiro se os dois termos são verdadeiros ou falsos.

A partir destas tabelas de verdade básicas foram desenvolvidas tabelas mais complexas, estabelecendo regras de inferência para verificar a validade das tautologias, permitindo desdobrar as formulas.

Concluindo.

 A despeito da utilidade imediata no desenvolvimento de inteligência artificial, para a filosofia, a lógica de predicados é essencial para ajudar a trabalhar o raciocínio.

Além disto, serve também para analisar a validade e verdade de proposições lingüísticas através de sua tradução para o vocabulário da lógica de predicados.

Para saber mais sobre o assunto.

ALENCAR FILHO, E. Iniciação à lógica matemática. São Paulo: Nobel, 2002.

COPI, Irving. Introdução à Lógica. São Paulo: Mestre Jou, 1981.

KENALE & KENALE. O desenvolvimento da lógica. Lisboa: Fundação Gunbenkian, 1996.

MORTARI, Cezar A. Introdução à lógica. São Paulo: Unesp, 2001.

Texto: Prof. Dr. Fábio Pestana Ramos.

Doutor em História Social pela FFLCH/USP.

Bacharel e Licenciado em Filosofia pela Universidade de São Paulo.