Espaço e Forma: Vivência com Quantidades e Dimensões.

Para entender a história... ISSN 2179-4111. Ano 2, Volume jul., Série 26/07, 2011, p.01-23.

Uma estranha construção feita pelos antigos persas para estudar o movimento dos astros. Um compasso antigo.

Um vetusto esquadro e, sob ele, a demonstração figurada do teorema de Pitágoras.

Um papiro com desenhos geométricos e o busto do grande Euclides.

São etapas fundamentais no desenvolvimento da Geometria.

Mas, muito antes da compilação dos conhecimentos existentes, os homens criavam, ao sabor da experiência, as bases da Geometria.

E realizavam operações mentais que depois seriam concretizadas nas figuras geométricas.

Uma medida para a vida.

As origens da Geometria (do grego medir a terra) parecem coincidir com as necessidades do dia-a-dia.

Partilhar terras férteis às margens dos rios, construir casas, observar e prever os movimentos dos astros, são algumas das muitas atividades humanas que sempre dependeram de operações geométricas.

Documentos sobre as antigas civilizações egípcia e babilônica comprovam bons conhecimentos do assunto, geralmente ligados à astrologia.

Na Grécia, porém, é que o gênio de grandes matemáticos lhes deu forma definitiva.

Dos gregos anteriores a Euclides, Arquimedes e Apolônio, consta apenas o fragmento de um trabalho de Hipócrates.

E o resumo feito por Proclo ao comentar os "Elementos" de Euclides, obra que data do século V a.C., refere-se a Tales de Mileto como o introdutor da Geometria na Grécia, por importação do Egito.

Pitágoras deu nome a um importante teorema sobre o triângulo-retângulo, que inaugurou um novo conceito de demonstração matemática.

Mas enquanto a escola pitagórica do século VI a.C. constituía uma espécie de seita filosófica, que envolvia em mistério seus conhecimentos, os "Elementos" de Euclides representam a introdução de um método consistente que contribui há mais de vinte séculos para o progresso das ciências.

Trata-se do sistema axiomático, que parte dos conceitos e proposições admitidos sem demonstração (postulados o axiomas) para construir de maneira lógica tudo o mais.

Assim, três conceitos fundamentais - o ponto, a reta e o círculo - e cinco postulados a eles referentes servem de base para toda Geometria chamada euclidiana, útil até hoje, apesar da existência de geometrias não-euclidianas baseadas em postulados diferentes (e contraditórios) dos de Euclides.

O corpo como unidade.

As primeiras unidades de medida referiam-se direta ou indiretamente ao corpo humano: palmo, pé, passo, braça, cúbito.

Por volta de 3500 a.C. - quando na Mesopotâmia e no Egito começaram a ser construídos os primeiros templos - seus projetistas tiveram de encontrar unidades mais uniformes e precisas.

Adotaram a longitude das partes do corpo de um único homem (geralmente o rei) e com essas medidas construíram réguas de madeira e metal, ou cordas com nós, que foram as primeiras medidas oficiais de comprimento.

Ângulos e figuras.

Tanto entre os sumérios como entre os egípcios os campos primitivos tinham forma retangular. Também os edifícios possuíam plantas regulares, o que obrigava os arquitetos a construírem muitos ângulos retos (de 90º).

Embora de bagagem intelectual reduzida, aqueles homens já resolviam o problema como um desenhista de hoje.

Por meio de duas estacas cravadas na terra assinalavam um segmento de reta.

Em seguida prendiam e esticavam cordas que funcionavam à maneira de compassos: dois arcos de circunferência se cortam e determinam dois pontos que, unidos, secionam perpendicularmente a outra reta, formando os ângulos retos.

O problema mais comum para um construtor é traçar, por um ponto dado, a perpendicular a uma reta.

O processo anterior não resolve este problema, em que o vértice do ângulo reto já está determinado de antemão.

Os antigos geômetras, o solucionavam por meio de três cordas, colocadas de modo a formar os lados de um triângulo-retângulo.

Essas cordas tinham comprimentos equivalentes a 3, 4 e 5 unidades respectivamente.

O teorema de Pitágoras explica porque: em todo triângulo-retângulo, a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa (lado oposto ao ângulo reto).

E 32+42=52, isto é, 9+16=25.

Qualquer trio de números inteiros ou não que respeitem tal relação definem triângulos-retângulos, que já na antiguidade foram padronizados na forma de esquadros.

Para medir superfícies.

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista.

Certo dia, ao observar trabalhadores pavimentando com mosaicos quadrados uma superfície retangular, algum sacerdote deve ter notado que, para conhecer o total de mosaicos, bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse.

Assim nasceu a fórmula da área do retângulo: multiplicar a base pela altura.

Já para descobrir a área do triângulo, os antigos fiscais seguiram um raciocínio extremamente geométrico. Para acompanhá-lo, basta tomar um quadrado ou um retângulo e dividí-lo em quadradinhos iguais.

Suponhamos que o quadrado tenha 9 "casas" e o retângulo 12. Esses números exprimem então a área dessas figuras.

Cortando o quadrado em duas partes iguais, segundo a linha diagonal, aparecem dois triângulos iguais, cuja área, naturalmente, é a metade da área do quadrado.

Quando deparavam com uma superfície irregular da terra (nem quadrada, nem triangular), os primeiros cartógrafos e agrimensores apelavam para o artifício conhecido como triangulação: começando num ângulo qualquer, traçavam linhas a todos os demais ângulos visíveis do campo, e assim este ficava completamente dividido em porções triangulares, cujas áreas somadas davam a área total.

Esse método - em uso até hoje - produzia pequenos erros, quando o terreno não era plano ou possuía bordos curvos.

De fato, muitos terrenos seguem o contorno de um morro ou o curso de um rio.

E construções há que requerem uma parede curva.

Assim, um novo problema se apresenta: como determinar o comprimento de uma circunferência e a área de um círculo.

Por circunferência entende-se a linha da periferia do círculo, sendo este uma superfície.

Já os antigos geômetras observavam que, para demarcar círculos, grandes ou pequenos, era necessário usar uma corda, longa ou curta, e girá-la em torno de um ponto fixo, que era a estaca cravada no solo como centro da figura.

O comprimento dessa corda - conhecido hoje como raio - tinha algo a ver com o comprimento da circunferência.

Retirando a corda da estaca e colocando-a sobre a circunferência para ver quantas vezes cabia nela, puderam comprovar que cabia um pouco mais de seis vezes e um quarto.

Qualquer que fosse o tamanho da corda, o resultado era o mesmo.

Assim tiraram algumas conclusões:

a) o comprimento de uma circunferência é sempre cerca de 6,28 vezes maior que o de seu raio;

b) para conhecer o comprimento de uma circunferência, basta averiguar o comprimento do raio e multiplicá-lo por 6,28.

E a área do círculo?

A

 história da Geometria explica-a de modo simples e interessante. Cerca de 2000 anos a.C., um escriba egípcio chamado Ahmes matutava diante do desenho de um círculo no qual havia traçado o respectivo raio.

Seu propósito era encontrar a área da figura.

Conta a tradição que Ahmes solucionou o problema facilmente: antes, pensou em determinar a área de um quadrado e calcular quantas vezes essa área caberia na área do círculo.

Que quadrado escolher?

Um qualquer?

Parecia razoável tomar o que tivesse como lado o próprio raio da figura.

Assim fez, e comprovou que o quadrado estava contido no círculo mais de 3 vezes e menos de 4, ou aproximadamente, três vezes e um sétimo (atualmente dizemos 3,14 vezes).

Concluiu então que, para saber a área de um círculo, basta calcular a área de um quadrado construído sobre o raio e multiplicar a respectiva área por 3,14.

O número 3,14 é básico na Geometria e na Matemática.

Os gregos tornaram-no um pouco menos inexato: 3,1416.

Hoje, o símbolo p ("pi") representa esse número irracional, já determinado com uma aproximação de várias dezenas de casas decimais.

Seu nome só tem uns duzentos anos e foi tirado da primeira sílaba da palavra peripheria, significando circunferência.

Novas figuras.

Por volta de 500 a.C., as primeiras universidades eram fundadas na Grécia.

Tales e seu discípulo Pitágoras coligiram todo o conhecimento do Egito, da Etúrria, da Babilônia, e mesmo da Índia, para desenvolvê-los e aplicá-los à matemática, navegação e religião.

A curiosidade crescia e os livros sobre Geometria eram muito procurados.

Um compasso logo substituiu a corda e a estaca para traçar círculos, e o novo instrumento foi incorporado ao arsenal dos geômetras.

O conhecimento do Universo aumentava com rapidez e a escola pitagórica chegou a afirmar que a Terra era esférica, e não plana.

Surgiam novas construções geométricas, e suas áreas e perímetros eram agora fáceis de calcular.

Uma dessas figuras foi chamada polígono, do grego polygon, que significa "muitos ângulos".

Atualmente até rotas de navios e aviões são traçadas por intermédio de avançados métodos de Geometria, incorporados ao equipamento de radar e outros aparelhos.

O que não é de estranhar"desde os tempos da antiga Grécia, a Geometria sempre foi uma ciência aplicada, ou seja, empregada para resolver problemas práticos.

Dos problemas que os gregos conseguiram solucionar, dois merecem referência: o cálculo da distância de um objeto a um observador e o cálculo da altura de uma construção.

No primeiro caso, para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício.

Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º.

Isto feito, a nave e os dois observadores ficavam exatamente nos vértices de um triângulo isósceles, porque os dois ângulos agudos mediam 45º cada um, e portanto os catetos eram iguais.

Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

O cálculo da altura de uma construção, de um monumento ou de uma árvore é também muito simples: crava-se verticalmente uma estaca na terra e espera-se o instante em que a extensão de sua sombra seja igual à sua altura.

O triângulo formado pela estaca, sua sombra e a linha que une os extremos de ambos é isósceles.

Basta medir a sombra para conhecer a altura.

A geometria na educação infantil.

A Geometria apresenta-se como fator fundamental para o desenvolvimento global.

É um traço importante para desenvolver competências relacionadas com a capacidade de visualização espacial e de verbalização e a utilização destas na resolução de problemas.

“A educação matemática não é mais do que o desenvolvimento da capacidade matemática e não existe atividade matemática sem problemas” (KRIGOWSKA, 1970).

Solucionar problemas surge com elevada importância na vida educativa da criança, em três níveis: capacidades, atitudes e conhecimentos.

Os desafios são sempre bem recebidos pelas crianças.

Toda a resolução de problemas contribuiu para fortalecer a sua auto-estima e auto-realização.

Podem implicar novas noções relativas à realidade, pois “todas as coisas são números” (PITÁGORAS), ou seja, a matemática anda de mãos dadas conosco durante o dia-a-dia.

Mais se acrescenta que, por Ian Stewart (1987), “os problemas são a força motriz da Matemática. Um bom problema é aquele cuja solução, em vez de simplesmente conduzir a um beco sem saída, abre horizontes inteiramente novos”.

Vivemos num mundo de formas movimentos e de padrões.

Observá-lo implica construir ideias que devem ser explicadas, ou seja, sujeita a experiências.

“Há ainda outros materiais utilizados na educação pré-escolar que permitem desenvolver noções matemáticas, uns mais relacionados com a concretização de quantidades e de operações matemáticas (…) outros ainda com geometria, como o geoplano” (STEWART, 1987).

Saber antes de fazer. Antecipar a solução. Prever. Planejar. Essas são qualidades que se formam na criança que desenvolve bem o pensamento geométrico.

O ensino da Geometria, porém, enfrenta problemas, um deles está relacionado à escolha dos conteúdos:

"Há muita ênfase no vocabulário e no uso de instrumentos. Não se propõem problemas para que as crianças descubram as relações geométricas existentes em uma figura ou em um sólido. Essas relações costumam ser apresentadas como conceitos já prontos" (STEWART, 1987).

 

Em resumo, ensinar Geometria precisa ser uma atividade muito mais desafiadora e propositiva, que explore a capacidade de dedução.

Foge-se dessa maneira da Geometria do "saber fazer", em direção a uma Geometriadas relações

 

Neste sentido, podemos nos deparar com três problemas didáticos que precisam ser enfrentados pelos educadores:

1. É extremamente difícil romper com a evidência do desenho e entrar no jogo dedutivo que está por trás do pensamento geométrico.

É um desafio imenso dizer a uma criança que um desenho de um triângulo é apenas uma representação de um triângulo, que existe apenas conceitualmente, essa questão começa a ser contornada quando as atividades de Geometria desafiam o raciocínio da criança.

Trata-se de um conhecimento de outra natureza.

É diferente do que simplesmente conhecer o nome das figuras ou a descrição das propriedades.

Quando o trabalho fica assim restrito, uma criança que vê um quadrado e depois vê esse mesmo quadrado rotacionado em 45 graus, diz que são duas figuras diferentes.

 

2. Até onde é possível ir no trabalho de geometria nas séries iniciais.

Não parece razoável querer que crianças de tão pouca idade já estabeleçam relações complicadas existentes nas figuras ou nos sólidos.

Entender que um sólido com uma determinada forma pode ter o mesmo volume de outro, com uma forma diferente, é um pensamento extremamente complexo para essa faixa etária.

Na fase inicial o trabalho geométrico deve explorar a modelagem de formas, a experimentação de muitas figuras e sólidos e a identificação de propriedades. Sempre com o apoio no concreto.

Aos poucos, esse suporte deve ser sistematicamente tirado de cena.

 

3. A atividade não pode ser considerada um conteúdo de ensino.

A tendência a se considerar uma atividade de construção de figura um conteúdo geométrico está ligado à necessidade imposta socialmente de que todo conteúdo de ensino tem de ter uma finalidade prática.

Ensinar Geometria, mesmo que na sua concepção mais abstrata, é permitir à criança o acesso a uma cultura matemática que lhe dá muito mais autonomia em sua vida como cidadão.

Por que se ensina Arte, Literatura ou Matemática?

Não há finalidade prática em todos os conteúdos dessas áreas.

Na Geometria também não.

Mas não é por isso que devemos restringir o acesso dos alunos a esse conhecimento.

Ensinar Geometria é muito mais do que apresentar as diferentes formas geométricas à turma e mostrar seus nomes e características.

Para que os alunos desenvolvam o pensamento geométrico, é preciso que entrem no jogo dedutivo.

Embasamento legal.

“... O trabalho com noções matemáticas na educação infantil, atende por um lado, as necessidades das próprias crianças de construírem conhecimentos que incidam nos mais variados domínios do pensamento; por outro, corresponde a uma necessidade social de instrumentalizá-las melhor para viver, participar e compreender um mundo que exige diferentes conhecimentos e habilidades” (Referencial Curricular Nacional – volume 3 p. 207)

A legislação brasileira que trata da educação infantil é muito recente.

Em 1988, a constituição, em seu artigo 208, inciso IV, inclui a creche e a pré-escola no sistema educativo, reconhecendo o direito da criança a uma educação de qualidade efetivamente.

O Estatuto da Criança e do Adolescente (1990), insere a criança no mundo dos direitos humanos.

Em 1996, com reformulação da Lei de Diretrizes e Bases Nacional (LDB, 1996) o país passa a ter diretrizes e normas para educação de crianças de 0 a 6 anos, primeira etapa da educação básica.

Em decorrência de todo este processo, em 1998, portanto a apenas 13 anos, temos o referencial curricular Nacional, composto de três volumes.

Exatamente no terceiro trata-se da matemática, dividindo-a em três grandes eixos: números e sistema de numeração, grandezas e medidas, espaço e forma.

A geometria, tratada no referencial com “espaço e forma”, é parte da matemática que estuda os corpos materiais ou símbolos, dotados de 3 atributos: forma , tamanho e posição (Malba Tahan, 2001 apud DUHALDE & CUBERES, 1998, p.33).

Uma das dificuldades no ensino da geometria era a nomenclatura das formas geométricas e conceitos de difícil apropriação pelas crianças.

Se a geometria é entendida como experiência e interpretação do espaço em que as pessoas vivem e se movimentam, conclui-se que as crianças começam a aprendê-la desde que sejam capazes de ver, sentir e movimentar-se no espaço em que ocupam.

À medida que crescem, começam a perceber as características dos objetos, seu tamanho, forma e posição, movimento, ordem etc (Proposta Curricular SBC, SP, 2007,caderno II, p.78) .

O trabalho pedagógico com a geometria na educação infantil é de propor desafios relacionados aos espaços que essa criança conhece no seu cotidiano, apresentando situações em que elas possam adquirir um controle cada vez maior sobre suas ações e possam resolver problemas de natureza espacial.

A criança começa a perceber-se e a orientar-se a partir do próprio corpo, pois o conhecimento de corpo acontece antes do conhecimento do espaço, ao mesmo tempo  que o torna possível.

Podemos notar principalmente no berçário, que na medida em que a criança progride na possibilidade de deslocar-se e de coordenar suas ações, também vai organizando esses movimentos, procurando novos caminhos para evitar os obstáculos que antes não percebia como tal.

As crianças exploram o espaço ao seu redor e, progressivamente, por meio da  percepção e da maior coordenação de movimentos, descobrem profundidades, analisam objetos, formas, dimensões, organizam mentalmente seus deslocamentos (Referencial Curricular Nacional para Ed. Infantil, Brasília: MEC,1998, p.230).

     

São conteúdos sugeridos pelo documento na área espaço e forma:

-Explicitação e/ou representação da posição de pessoas e objetos, utilizando vocabulários pertinentes nos jogos, nas brincadeiras e nas diversas situações nas quais as crianças considerem necessária essa ação.

-Exploração e identificação de propriedades geométricas de objetos e figuras, como formas, tipos de contornos, bidimensionalidade, tridimensionalidade, faces planas, lados retos etc.

-Representações bidimensionais e tridimensionais de objetos.

-Identificação de pontos de referência para situar-se e deslocar-se no espaço.

-Descrição e representação de pequenos percursos e trajetos, observando pontos de referência.  

Em 2007, o município em que atuamos, São Bernardo do Campo, também redigiu seu documento, intitulado Proposta Curricular.

Segundo este documento a estruturação espacial se inicia desde muito cedo na criança, pela constituição de um sistema de coordenadas relativo ao seu próprio corpo.

É a fase chamada egocêntrica, quando para se orientar, a criança considera seu próprio corpo como ponto de referência.

Aos poucos, ela toma consciência de que os diferentes aspectos sob os quais os objetos se apresentam para ela são perfis de uma mesma coisa.

Ou seja: gradualmente, ela vai tomando consciência dos movimentos de seu próprio corpo, de seu deslocamento.

A criança percebe o espaço por meio do contato direto com os objetos, possibilitando-lhe a construção de um espaço representativo, em que ela é, por exemplo, capaz de evocar os objetos em sua ausência.

Segundo Piaget, os conceitos espaciais vão se construindo progressivamente, a partir de experiências de deslocamento do sujeito. Poincaré (apud GÁLVEZ, 1996, p.24), por sua vez afirmara: para um sujeito imóvel não existe nem espaço nem geometria e também localizar um objeto é representar os movimentos que seriam necessários para alcançá-lo.

Piaget e a geometria.

Jean Piaget foi um dos mais importantes pesquisadores de educação e pedagogia.

Nasceu na cidade de Neuchâtel (Suíça) em 09/08/1896 e morreu em 17/9/1980.

Especializou-se em psicologia evolutiva e também no estudo de epistemologia genética. Seus estudos sobre pedagogia revolucionaram a educação, pois derrubou várias visões e teorias tradicionais relacionadas à aprendizagem.

Piaget fez pesquisas sobre as características do pensamento infantil.

No ano de 1921 escreveu suas primeiras teorias pedagógicas.

Foi diretor do Instituto Jean-Jacques Rousseau na Suíça e lecionou  psicologia infantil na Universidade de Genebra.

Suas teorias buscam implantar nos espaços de aprendizagem uma metodologia inovadora que busca formar cidadãos criativos e críticos.

De acordo com suas teorias, o professor não deve apenas ensinar, mas sim e antes de tudo, orientar os educandos no caminho da aprendizagem autônoma.

Piaget impulsionou a Teoria Cognitiva, onde propõe a existência de quatro estágios de desenvolvimento cognitivo no ser humano: o estágio sensório-motor, pré-operacional (pré-operatório), operatório concreto e operatório formal.  

Kênia Bomtempo (2004), em sua monografia de especialização pela Universidade Federal de Goiânia, conclui que para Jean Piaget, o desenvolvimento é então um processo contínuo, gradual e possível graças à equilibração cognitiva.

Para que se construa o conhecimento, é necessária, a interação entre o sujeito e o objeto, não se pode pular etapas ou estágios diante do modo de pensar construtivista, pois em cada contexto há uma transformação.

O desenvolvimento cognitivo não é imposto pela maturação ou pela perspectiva do meio, logo, ele é o resultado da interação do sujeito e objeto.

O que permite a passagem de um estágio de inteligência para outro, é a ação de adaptação do sujeito ao meio.

Isso desde os primeiros anos de vida, mostrando a constante busca de um equilíbrio melhor.

Para Piaget, o crescimento intelectual e a constante busca de estágios superiores formam a equilibração progressiva ou marjorante.

É evidente que a aprendizagem, segundo Piaget, está intrinsicamente ligada relação do sujeito com o objeto e, consequentemente, para a aprendizagem da geometria o processo não é diferente.

O grande desafio é possibilitar que as crianças pequenas, especialmente, tenham a possibilidade de interagir com tais objetos.

Márcia Regina Terra, doutora em Linguística, apresenta os 4 períodos no processo evolutivo da espécie humana de acordo com Piaget, caracterizados "por aquilo que o indivíduo consegue fazer melhor" no decorrer das diversas faixas etárias ao longo do seu processo de desenvolvimento.

São eles:

• 1º período: Sensório-motor (0 a 2 anos).

• 2º período: Pré-operatório (2 a 7 anos).

• 3º período: Operações concretas (7 a 11 ou 12 anos).

• 4º período: Operações formais (11 ou 12 anos em diante).

Cada uma dessas fases é caracterizada por formas diferentes de organização mental que possibilitam as diferentes maneiras do indivíduo relacionar-se com a realidade que o rodeia.

De uma forma geral, todos os indivíduos vivenciam essas 4 fases na mesma seqüência, porém o início e o término de cada uma delas pode sofrer variações em função das características da estrutura biológica de cada indivíduo e da riqueza (ou não) dos estímulos proporcionados pelo meio ambiente em que ele estiver inserido.

Vale lembrar que a divisão nessas faixas etárias é uma referência, e não uma norma rígida de enquadramento.

Estaremos a seguir caracterizando o período Sensório motor e o pré-operatório que abrange a faixa etária da Educação Infantil e Creche.

Período sensório-motor.

No período sensório-motor, a criança desenvolve progressivamente a noção de espaço.

Utiliza e manuseia objetos; descobre fatos sobre o objeto, o tempo e o espaço ocupado por ele. Tudo isso, através das experiências de deslocamento do sujeito e do objeto.

O campo de visão da criança nessa fase ainda é muito reduzido.

E se apropria das imagens com os movimentos da cabeça e dos olhos, visualiza apenas o que alcança, o que está próximo.

Aos poucos, esse campo de visão aumenta de acordo com as relações de espaço do próprio corpo, ela pensa que os objetos e o eu estão localizados em um espaço comum.

A inteligência sensório-motora está ligada à ação.

As ações estão limitadas na realidade e não em sua representação; por isso, ocorre um desenvolvimento particular, a criança possui um comportamento pré-imitativo com o desenvolvimento do lúdico, porém, tem um crescimento privado, individual e sozinha.

Aos poucos, a criança internaliza as ações percebendo seus movimentos e deslocamentos como sendo também um objeto no meio.

Nessa fase, a criança não consegue, ainda, por exemplo, ordenar mentalmente alguns objetos sem antes manipular e ordená-los concretamente.

Por não conseguir entender o espaço representativo é que, nesta fase, a criança precisa vivenciar diversas situações ligadas à localização espacial, desenvolvidas através de esquemas corporais, sempre acompanhadas de verbalização, ou seja, tudo muito bem explicado com palavras, não só gestos.

Vale ressaltar que toda movimentação da criança lhe traz aprendizagem e progressivamente, quanto mais interage com o objeto e com o espaço, mais adquire conhecimento, imagem mental e pensamento.

Para a criança a noção geral dos objetos é construída a partir da visualização, a imagem aparece sem a conceituação dos objetos, levando em consideração a fase de desenvolvimento da inteligência.

Período pré-operacional.

Uma das grandes conquistas deste estágio é a compreensão dos símbolos, a função simbólica que constitui na criança a noção de espaço representativo.

Neste estágio a linguagem provoca mudanças na afetividade e no intelecto da criança.

A linguagem passa a ter uma finalidade para as ações da criança, espera-se alcançar objetivos.

Através da aquisição de uma inteligência representativa, a criança não só registra empiricamente sucesso ou fracasso, mas reflete sobre a organização de seus atos ao aplicá-los aos objetos.

Ocorre a socialização advinda dos símbolos, significados e significantes, pois, ocorreu a plena aquisição da linguagem, tudo isso, contribui com uma formação egocêntrica nessa fase.

Há uma incapacidade de acomodar-se ao novo, mas, de maneira coerente e racional assimila-o ao velho.

Kênia Bomtempo traz em seus estudos considerações sobre o espaço topológico, seguindo ao pensamento de Piaget que propõe a geometria construída no pensamento com conceitos topológicos, seguido dos conceitos projetivos e euclidianos.

Vale considerara que os conceitos topológicos, a grosso modo  interessa-se pelas propriedades geométricas que se mantém invariantes.

O estudo do espaço com as crianças pequenas envolve a compreensão do espaço desde o início de sua vida ainda que de forma experimental, posteriormente, surgem as ações interiorizadas e convertidas em sistemas operacionais.

É preciso intensificar o trabalho com a exploração do espaço através de ideiais de localização, direção, dentro, fora, ao lado e com a ideia de vizinhança.

O trabalho com medidas para crianças de até nove anos aproximadamente envolve a comparação de alturas, pesos, volume, sem contar ainda com a formalização que acontece em estágios superiores, conceitos euclidianos – passa do espaço para o plano.

A partir dos cinco anos a criança já é capaz de utilizar conceitos projetistas como antes, depois, primeiro, segundo, ao lado, último.

Interações e a construção de conhecimentos

Conclui-se que a geometria planificada e projetada só aparece com um raciocínio mais elaborado e com a ideia adulta das representações manipuladas.

O ensino da geometria para as crianças pequenas é um processo contínuo, gradual e conta com a equilibração cognitiva (desenvolvimento dos estágios).

Tal como o desenvolvimento cognitivo é resultado da interação do sujeito e objeto, assim é a construção do conhecimento geométrico: apropriação do espaço, interação com o objetos, experimentação de encaixe e desencaixe, cabe e não cabe.

Piaget (1995) pontua o pensamento lógico matemático como uma construção que resulta da ação mental da criança sobre o mundo, construído através das relações que a criança elabora em sua atividade de pensar o mundo, e também de suas ações sobre os objetos.

Piaget afirma ainda que o ensino deve formar o raciocínio, conduzindo a compreensão, desenvolvendo um espírito criativo.

Matemática, Geometria e áreas afins devem se preocupar em propor um currículo onde a criança atue sobre as coisas que a rodeiam e as diversas situações que podem surgir, favorecendo a construção de um pensamento lógico matemático.

A Creche e Educação Infantil devem aproveitar a rotina privilegiada para se dedicar a elaboração de práticas que possibilitem a ação das crianças, a experimentação, a troca de experiências, a resolução de problemas, comparação de medidas, enfim, na idade dos alunos aos quais ministramos aulas é preciso explorar as vivências.

Essa é a uma grande contribuição de Piaget, o conhecimento é adquirido gradativamente e a partir das interações.

O espaço no modelo HIGH/SCOPE.

Desde seu inicio no Perry Preschool Project, criado por David P. Weinkart, em 1962, para servir as crianças “em risco” de bairros pobres de Ypsilanti, Michigan, a abordagem pré-escolar High/Scope encarajou as crianças a desenvolverem a iniciativa.

Weikart e sua equipe, apoiaram-se na teoria de desenvolvimento de Piaget e elegeram a aprendizagem pela ação o principio básico de sua abordagem.

São critérios básicos no modelo High/Scope:

1. O processo de desenvolvimento do currículo deve ser guiado por uma teoria coerente relativa ao ensino e à aprendizegem.

2. A teoria e a prática curriculares devem apoiar a capacidade de cada criança para desenvolver potencialidades e competências individuais através da criação contínua de oportunidades que lhes possibilitem envolver-se em aprendizagens através da ação.

3. Professore, investigadores e administradores devem trabalhar cooperativamente em todos os aspectos do desenvolvimento curricular, por forma a assegurar que a teoria e a prática seja considerada com o mesmo relevo.

Dentro destas linhas teóricas, cada educador constrói uma rotina diária que lhe permita desenvolver o jogo educativo com seu grupo de crianças. Tal forma de organização corresponde a certas indicações.

A rotina deve possuir os mesmos componentes todos os dias, sempre na mesma sequencia, incluir o processo planejar-fazer-revisar, oportunidades para atividades individuais, do grande e do pequeno grupo, possibilitar interações criança/criança e criança/adulto e permitir à criança a possibilidade de expor as suas intenções, coloca-las em prática e realizar reflexões sobre as atividades desenvolvidas.  

As atividades são denominadas experiências-chave e estão organizadas em nove categorias: sócio-emocional, representação, linguagem, classificação, seriação, número, espaço, desenvolvimento físico e música.

Espaço.

Segundo o modelo High/Scope “a criança desenvolve conceitos espaciais realizando experiências com as quais aprende coisas sobre o seu próprio corpo (como se encaixam as partes do corpo), como esse corpo situa-se em um espaço cheio de objetos, quais sáo as distancias e posições de um objeto em relação a outro, em que direção movimentam-se as coisas, compreender as formas que os objetos adquirem quando adotam diversas posições.”

As experiências-chave deste domínio são?

-Juntar coisas e separá-las.

-Recompor e remodelar objetos (dobrar, torcer, esticar, empilhar) e observar as mudanças.

-Observar coisas e lugares a partir de diferentes perspectivas.

-Vivenciar e descrever posições, direções e distâncias relativas.

-Aprender a localizar coisas na sala de aula, na escola e no meio ambiente.

-Interpretar representações de relações espaciais em desenhos e pinturas.

-Distinguir e descrever formas.

Cabe aos adultos proporcionar às crianças materiais para que elas possam realizar estas experiências, incentivá-las, estimulá-las e observar os conhecimentos que estão sendo construídos, bem como as dificuldades e facilidades encontradas, para propor novos desafios e situações orientadas, didaticamente organizadas de acordo com os princípios High/Scope.

Concluindo.

Com base nos estudos realizados durante o curso, selecionamos e aplicamos em nossas turmas as atividades a seguir. Cabe ressaltar que observamos que as crianças realizaram as atividades com satisfação e acreditamos que os objetivos propostas tenham sido alcançados.

Percurso.

-Intenções Pedagógicas: Identificar e utilizar as posições relativas de objetos sobre uma reta ou uma linha.

-Aplicação: Utilizar com frequência todas as situações da vida cotidiana.

No pavilhão ou no pátio, traçar uma linha no chão (ou materializá-la com um barbante).

Colocar sobre dois ou três objetos bem distintos para os pequenos (aumentar o numero de objetos segundo o nível da Escola Infantil).

Fazer com que as crianças percorram este caminho materializado.

Muitas vezes é necessário fazer o percurso diversas vezes, citando na ordem os nomes dos objetos encontrados.

Após o percurso, pedir ás crianças que digam na ordem os nomes dos objetos encontrados, sem olhar para o trajeto efetuado.

Para as crianças que tiverem dificuldades para nomear os objetos, pedir que os apontem dentro de um conjunto de objetos.

Fazê-las percorrer novamente o trajeto, se necessário.

Pedir-lhes então que comparem dois trajetos em que somente o local dos objetos é diferente.

-Variação: Pode-se utilizar um conto.

As crianças representam as diferentes etapas de um percurso e as posições relativas de objetos ( diante da casa, atrás da arvore ,etc.).

Planejar de forma a que o trabalho se torne diferenciado, utilizando para certos grupos a colagem de objetos ou de personagem já desenhados pelo professor.

-Intenções pedagógicas: Identificar e utilizar as posições relativas de objetos sobre uma reta ou uma linha.

-Desdobramentos: Sempre que possível, chamar a atenção, no decorrer dos trajetos cotidianos, orientandos, dentro da escola, a posição do pavilhão, dos banheiros, dos refeitórios, do pátio... Agir da mesma forma para situar os diferentes “ Cantinhos” da sala de aula.

Retomar esse tema nos momentos de reunir toda a classe, fazendo com que as crianças verbalizem os percursos por elas efetuados.

Quando a imagem do trajeto e a situação dos diferentes locais uns em relação aos outros, estiverem devidamente adquiridas, utilizar uma primeira planta da escola (não necessariamente em escalas ) ,com a qual serão retomadas as atividades precedentes.

Propor que as crianças desenhem um esquema da classe de diferentes “cantinhos”, tornando mais completa a representação destes locais mediante o desenho de um objeto significativo para cada um deles.

Na escola infantil, obviamente não se trabalha com a noção de mapa em escala; simplesmente se pretende que as crianças se conscientizem das posições relativas dos diferentes locais.

Para as crianças um pouco maiores pode-se abordar as noções de espaço maior e de trajeto mais longo, ligado ao tempo de descolamento.

Labirintos.

Estas atividades se apoiam sobre o conhecimento anterior de linhas abertas e fechadas.

-Intenções pedagógicas: Saber se deslocar dentro de um labirinto.

-Aplicação: Materializar o labirinto através de painéis, bancos ou qualquer outro elemento de mobiliário dificilmente transponível.

Depois , utilizar blocos de madeira ou plástico e por fim desenhar no chão os labirintos ( utilizar folhas grandes de papel, de maneira a poder utilizá-las em aula).

Pode-se também materializar as “paredes” com blocos plásticos , principalmente no inicio.

Após certo tempo reservado para que as crianças observem o material , fazer com que se desloquem no interior dos diferentes labirintos.

Assegurar-se de que todas as crianças compreendam bem a convenção do traçado ou da materialização, e que não se trata de sair do labirinto, por exemplo, pulando os traços ou os blocos.

Recordar as primeiras situações nas quais a materialização era mais dissuasiva.

Em grande grupo, expor as diferentes tentativas das crianças.

-Desdobramento 1 : Materiais Traçados de labirinto, flechas recortadas em papelão, fita adesiva.

Retomar os traços utilizados anteriormente e pedir ás crianças que representem o trajeto para sair do labirinto.

Fazer com que fixem as flechas de papelão com fita adesiva, para que possam corrigir o trajeto com facilidade.

-Intenções Pedagógicas: Localizar-se dentro de um labirinto sem deslocar-se efetivamente em seu interior.

-Desdobramento 2: Propor ás crianças traçados de labirinto cujos trajetos devem ser percorridos lápis . Inúmeros exercícios deste gênero podem ser encontrados nas revistinhas para crianças.

Como desdobramento, utilizar softwares de labirinto, se se dispõe de computadores.

Estes programas são em geral muito bem concebidos e permitem ás crianças numerosas experiências.

Assegurar-se de que os exercícios escritos propostos não contenham “parasitas” que atrapalham as crianças na realização dos traçados.

Um espaço demasiado grande entre o bonequinho que percorrerá o labirinto e a entrada deste, em especial, é considerado por diversas crianças um obstáculo intransponível.

-Intenções pedagógicas: Representar um deslocamento dentro de um labirinto.

Geometria.

Encaixe de figuras simples planas.

-Intenções Pedagógicas: Discriminação de formas ; familiarização com as figuras clássicas através de uma apreensão multissensorial que não privilegie nenhuma disposição a figura em particular; formação de pares de formar convexas e de formas côncavos de mesmo contorno ; enriquecimento do vocabulário referente a Geometria; descoberta de certas propriedades destas figuras, especialmente o numero de vértices e de lados no caso de polígonos; reconhecimento de uma mesma figura sobre aparências perceptivas diferentes (particularmente figura de “superfície”, figura “vazada”, e figura de “contorno”).

-Materiais:

• Encaixe de formas geométricas : um painel com concavidades destinadas a receber peças moveis (triangulo,quadrado, retângulo, pentágono, trapézio, losango, etc) dotados de botão de pressão ;

• Encaixe geométricos de contornos retilíneos ou curvilíneos de Montessori.

• Triângulos : mesmo principio que para os encaixes geométricos de Montessori, mas as formas são triângulos de aspecto variado (isósceles “pontudo” , isósceles “achatado”, retângulo isósceles, outros triângulos retângulos, equilátero, acutângulo (*) escaleno, obtusângulo, escaleno...)

• Retângulos: mesmo principio que para os encaixes de Montessori, mas as formas são retângulos de aspecto variado( a variação refere-se ao comprimento dos dois lados , que podem ser iguais, aproximados ou bem diferentes, e á posição em relação ao quadro...)

• Quadriláteros : mesmo principio que para os encaixes de Montessori, mas as formas são quadriláteros de aspectos variado ( convexos e côncavos, diferentes dos clássicos quadrados , retângulo , losango e trapézio isósceles).

-Aplicação: Para a criança, o desafio consiste em colocar no lugar devido diversos elementos. Atividade de encaixe em um “cantinho” de materiais de matemática.

As crianças se familiarizam rapidamente com as atividades de encaixe, não havendo necessidade de enunciar qualquer instrução; a observação de outras crianças ocupadas nesta tarefa frequentemente é impulso suficiente.

Esta é a idade na qual a criança gosta de colocar juntas coisas que combinam e colocar no lugar aquilo que foi desarrumado.

Algumas crianças acompanham com o dedo indicador ou com todos os dedos de uma mão a borda (exterior) da forma encaixável que esta segura na outra mão e então fazem o mesmo com a borda interior da concavidade onde a forma deve ser encaixada.

Este contato enriquece as evocações (cenestésicas, visuais ou auditivas) que elas associam a estas formas.

O aprendizado dos nomes das formas ocorre por impregnação durante situações que conferem a estes termos, como comentar a peça que esta faltando no momento de encaixa-la (é importante que a criança ouça que deve procurar o losango ao se mostrar o espaço vazio a ele destinado, ao invés de a peça verde , informação que não pode ser deduzida daquilo que resta e que somente pode ser memorizado por alguém que conheça muito bem o material); ou ainda quando uma criança chama a atenção para uma analogia pertinente de forma entra peças de dois materiais diferentes, ou entre uma peça de um material e um objeto usual da sala de aula, como mesas hexagonais ou octogonais.

No entanto é inútil insistir que as crianças do Maternal (e mesmo do Jardim)  empreguem sistematicamente o termo próprio para designar cada uma das formas.

*Acutângulo - triângulo no qual todos os ângulos são agudos

*Obtusângulo - triângulo no qual um ângulo é obtuso

*Escaleno – triângulo no qual os lados têm comprimentos diferentes dois a dois

Para saber mais sobre o assunto.

BOYER, C. História da Matemática. tradução Elza Gomide, São Paulo: Edgar Blucher, 1974.

BOMTEMPO, Kênia S. Aprendizagem da geometria: Os conhecimentos geométricos que os alunos trazem ao ingressar na Universidade. Goiânia: UFG – Instituto de Matemática e Estatística, 2004. Monografia de Especialização.

BRASIL - MEC. Referencial Curricular Nacional, 1998.

EVES, H. Tópicos de História da Matemática para Uso em Sala de Aula. São Paulo: Atual, 1992.

FRANÇOISE, Cerquetti-Aberkane; BERDONNEAU, Catherine.Trad.Eunice Gruman. O ensino da matematica na educaçao infantil. Madrid: Artmed, 1997.

GREENBERG, M. J. Geometrias Euclidianas e não Euclidianas. San Francisco: W. H. Freeman Company, 1980.

HERÓDOTO. Grandes Filósofos da História. São Paulo: Ediouro, s.d.

HOHMANN, Mary; BERNARD, Banet; DAVID, P. Weikart. A crianca em acção. Lisboa: Fundacao Calouste Gulbenkian, 1992.

HOHMANN, Mary; DAVID, P. Weikart. Educar a criança. Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian ,2004.

PIAGET, J. & GARCIA, R. Psicogêneses e História das Ciências. Lisboa: Dom Quixote, 1987.

PIAGET, Jean. Seis estudos de psicologia. Trad. Maria Alice Magalhães D’Amorim e Paulo Sergio Lima Silva, Rio de Janeiro: Forense Universitária, 1995.          

SANTOS, V. M. “Conhecimento matemático e educação infantil. Abordagem teórica” In: A descoberta dos números.

SÃO BERNARDO DO CAMPO. Proposta Curricular. SEC/DAE, 2007 – vl. II caderno 2.

TERRA, Márcia Regina. O desenvolvimento humano na teoria de Piaget. Disponível em: <http://www.unicamp.br/iel/site/alunos/publicacoes/textos/d00005.htm>. Acesso em: 12 abr. 2008.

ZABALZA, Miguel A. Qualidade em educação Infantil. trad. Beatriz Affonso Neves. Madrid: Artemed. 1996.

Texto:

Profa. Ana Maria Pauli.

Graduada em Pedagogia.

Pós-graduanda em Educação Infantil pela USP.

Professora da rede municipal de ensino de São Bernardo do Campo.

Profa. Ana Maria Pádua.

Graduada em Pedagogia.

Pós-graduanda em Educação Infantil pela USP.

Professora da rede municipal de ensino de São Bernardo do Campo.

Profa. AntoniaToniarita de Jesus.

Graduada em Pedagogia.

Pós-graduanda em Educação Infantil pela USP.

Professora da rede municipal de ensino de São Bernardo do Campo.

Profa. Cláudia Pestana Ramos de Alvarenga.

Graduada em Pedagogia pela Fundação Santo André.

Pós-graduanda em Educação Infantil pela USP.

Professora da rede municipal de ensino de São Bernardo do Campo.

Professora no Colégio São José de São Bernardo do Campo.

Profa. Glaucia Pádua Vicente.

Graduada em Pedagogia.

Pós-graduanda em Educação Infantil pela USP.

Professora da rede municipal de ensino de São Bernardo do Campo.